체르멜로-프렝켈 집합론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)은 1920년대에 아브라함 프렝켈과 토랄프 스콜렘에 의해 개발된 공리적 집합론으로, 현대 수학의 기초를 제공한다. ZFC는 집합의 개념을 바탕으로 하며, 7개의 공리와 2개의 공리꼴로 구성되어 있다. 이 공리들은 집합의 기본 성질, 집합의 구성 방법, 무한 집합의 존재, 선택 공리에 대한 내용을 담고 있다. ZFC는 러셀의 역설과 같은 소박한 집합론의 문제점을 해결하고, 수학적 대상을 엄밀하게 정의하는 데 기여했다. ZFC는 현재 수학 연구의 표준적인 토대로 사용되며, 다양한 수학적 명제들의 증명과 연구에 활용된다. ZFC는 또한, 여러 가지 확장 및 대안적 집합론과 비교되며, 무모순성, 독립성, 유한 공리화 불가능성과 같은 다양한 메타수학적 성질을 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

집합론 체계 - 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합과 모임 두 종류의 객체를 다루는 공리적 집합론으로, 모든 집합은 모임이 되며, 집합론적 역설을 피하고 모임을 다루면서 ZFC의 보존적 확장이자 유한 공리화 가능 이론이고 클래스 개념을 통해 ZFC보다 강력한 선택 공리를 허용한다.
집합론 체계 - 새 기초
새 기초(NF)는 유한 공리화가 가능한 집합론의 한 종류로, 층화된 이해를 기반으로 외연성 공리를 포함한 다양한 공리들을 통해 집합을 정의하고 연산하며, 러셀의 역설과 같은 문제 해결을 위한 대안으로 콰인이 1937년에 제안하였다.
수학기초론 - 힐베르트 프로그램
힐베르트 프로그램은 20세기 초 수학의 기초를 형식 체계로 구축하고 무모순성과 완전성을 증명하려 했으나, 괴델의 불완전성 정리에 의해 원래 목표 달성이 불가능해졌고 수정된 형태로 연구가 지속되고 있다.
수학기초론 - 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합과 모임 두 종류의 객체를 다루는 공리적 집합론으로, 모든 집합은 모임이 되며, 집합론적 역설을 피하고 모임을 다루면서 ZFC의 보존적 확장이자 유한 공리화 가능 이론이고 클래스 개념을 통해 ZFC보다 강력한 선택 공리를 허용한다.

체르멜로-프렝켈 집합론
개요
유형	공리적 집합론
분야	수학, 논리학
창시자	에른스트 체르멜로, 아브라함 프렌켈
공리계	짝짓기 공리 합집합 공리 멱집합 공리 무한 공리 분리 공리 (치환 공리로 대체됨) 정칙성 공리 치환 공리 선택 공리
역사
개발	20세기 초
특징
일관성	괴델의 불완전성 정리에 의해 증명 불가능 ZFC가 모순된다면, ZFC는 자신의 모순성을 증명할 수 없음.
관련 개념
상위 집합론	폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG), 모스-켈리 집합론(MK)
관련 주제	집합론 공리적 방법 수학기초론 모형 이론 범주론

2. 역사

현대적인 집합론 연구는 1870년대 게오르크 칸토어와 리하르트 데데킨트에 의해 시작되었다. 그러나 1890년대의 칸토어 역설과 1901년 러셀이 발견한 러셀의 역설 등 소박한 집합론의 여러 역설이 발견되면서, 역설이 없는 엄밀한 형태의 집합론을 구축해야 할 필요성이 커졌다.

1904년 에른스트 체르멜로는 정렬 정리를 증명하기 위해 선택 공리를 처음 도입하였고, 1908년에는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다.^[25] 하지만 이 이론에는 몇 가지 한계가 있었다. 우선, 순서수를 구성하기에 부족하여 알레프 수 $\aleph_\omega$ 와 같은 특정 기수나 집합 $\{Z_{0},\mathcal{P}(Z_{0}),\mathcal{P}( \mathcal{P}(Z_{0}) ),\mathcal{P}( \mathcal{P}( \mathcal{P}(Z_{0}) ) ),...\},$ (여기서 $Z_{0}$ 는 무한 집합, $\mathcal{P}$ 는 멱집합 연산)의 존재를 증명할 수 없다는 점이 1921년 아브라함 프렝켈에 의해 지적되었다. 또한, 체르멜로가 제시한 분류 공리꼴(Axiom der Aussonderung^de)에 포함된 "명확한"(definit^de) 속성이라는 개념의 의미가 엄밀하게 정의되지 않아 불분명하다는 문제도 있었다. 한편, 1907년 러시아 수학자 드미트리 미리마노프(Дми́трий Семёнович Мирима́нов^ru)는 집합의 정칙성 개념을 정의하고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도될 수 없음을 지적하기도 했다.

이러한 문제들을 해결하기 위해 여러 수학자들이 개선안을 제시했다. 1910년 헤르만 바일^[26]과 1922년 토랄프 스콜렘^[27]은 각각 독립적으로 체르멜로의 "명확한" 속성을 1차 논리의 잘 구성된 공식으로 엄밀하게 정의할 것을 제안했다. 또한 1922년에 아브라함 프렝켈^[28]과 스콜렘^[27]은 체르멜로 집합론의 분류 공리꼴을 더 강력한 치환 공리꼴(Ersetzungsaxiom^de)로 대체할 것을 제안했다. 이후 존 폰 노이만은 미리마노프가 정의한 집합의 정칙성을 표현하는 정칙성 공리를 추가했다.

이렇게 체르멜로 집합론에 치환 공리꼴과 정칙성 공리가 추가되어 형성된 공리계를 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이라고 부른다. 여기에 선택 공리(AC)를 추가한 것이 오늘날 표준적인 집합론 공리계로 사용되는 ZFC이다.

3. Formal language

형식적으로 ZFC는 일종 논리의 일계 논리 이론이다. 등호 기호는 원시 논리 기호 또는 정확히 동일한 요소를 갖는 고급 약어로 처리될 수 있으며, 전자의 접근 방식이 가장 일반적이다. 시그니처는 일반적으로 $\in$ 로 표시되는 단일 술어 기호를 가지며, 이는 2차수 술어 기호(이항 관계 기호)이다. 이 기호는 집합 포함 관계를 나타낸다. 예를 들어, 공식 $a\in b$ 는 $a$ 가 집합 $b$ 의 원소임을 의미한다( $a$ 가 $b$ 의 구성원이라고도 읽는다).

형식 언어를 공식화하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 일부 저자는 다른 연결사 또는 양화자를 선택할 수 있다. 예를 들어, 논리 연결사 NAND 단독으로 다른 연결사를 인코딩할 수 있으며, 이는 기능적 완전성으로 알려진 속성이다. 이 섹션에서는 단순성과 직관성의 균형을 맞추려고 한다.

언어의 알파벳은 다음과 같이 구성된다.

집합을 나타내는 데 사용되는 가산 무한량의 변수
논리 연결사 $\lnot$ , $\land$ , $\lor$
양화 기호 $\forall$ , $\exists$
등호 기호 $=$
집합 포함 기호 $\in$
괄호 ( )

이 알파벳을 사용하여 잘 정의된 공식 (wff)을 형성하는 재귀 규칙은 다음과 같다.

$x$ 와 $y$ 를 임의의 변수에 대한 메타변수라고 하자. 다음은 원자 공식 (가장 단순한 wff)을 구성하는 두 가지 방법이다.

:

x=y

:

x \in y

$\phi$ 와 $\psi$ 를 임의의 wff에 대한 메타변수, $x$ 를 임의의 변수에 대한 메타변수라고 하자. 다음은 유효한 wff 구성이다.

:

\lnot \phi

:

( \phi \land \psi )

:

( \phi \lor \psi )

:

\forall x  \phi

:

\exists x  \phi

잘 정의된 공식은 구문 트리로 생각할 수 있다. 리프 노드는 항상 원자 공식이다. 노드

\land

와

\lor

는 정확히 두 개의 자식 노드를 가지고, 노드

\lnot

,

\forall x

및

\exists x

는 정확히 하나를 갖는다. 가산 무한히 많은 wff가 있지만, 각 wff는 유한 개의 노드를 갖는다.

체르멜로-프렝켈 집합론은 단일한 원시 개념, 즉 기초적인 순수 집합 개념의 형식화를 목적으로 하기 때문에, 논의 영역 내의 모든 대상은 그러한 집합이 된다. 따라서 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 공리는 순수 집합에만 언급하며, 그 모델에 아톰^[10]이 포함되지 않도록 하고 있다. 또한, 진 클래스^[11]는 간접적으로만 다룰 수 있다. 구체적으로, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 전체 집합(모든 집합을 포함하는 집합)의 존재도 무제한적인 내포도 허용하지 않으므로, 러셀의 역설을 회피할 수 있다.

4. 공리

ZFC 공리계는 여러 가지 동등한 방식으로 공식화될 수 있다.^[3]^[12] 여기서는 Kunen (1980)이 제시한 공리 집합을 기준으로 설명한다. 공리들은 1차 논리의 기호와 약어를 사용하여 표현된다.

일반적으로 공리 1부터 8까지를 체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)라 부르며, 여기에 9번째 공리인 선택 공리를 추가하면 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 공리계(ZFC)가 된다. Kunen (1980)은 선택 공리 대신 이와 동등한 정렬 정리를 9번째 공리로 사용하기도 한다.

ZFC의 공리들은 적어도 하나의 집합이 존재한다는 것을 함축한다. Kunen은 집합의 존재를 직접 명시하는 공리를 포함하기도 했지만, 이는 "강조를 위한 것"일 뿐 공리계 자체에 필수적인 것은 아니다.^[4]^[13] 집합의 존재가 별도의 공리로 필요하지 않은 이유는 다음과 같다.^[14]

# ZFC가 기반하는 표준적인 1차 논리에서는 논의의 대상이 되는 영역(담화 영역)이 비어 있지 않다고 가정한다. 따라서 어떤 대상이 존재한다는 것은 논리적으로 참이며( $\exists x ( x = x )$ ), ZFC의 맥락에서는 이것이 곧 어떤 '집합'이 존재함을 의미한다.

# 설령 자유 논리처럼 논리만으로는 어떤 대상의 존재를 보장하지 않는 체계를 사용하더라도, ZFC의 무한 공리는 '무한' 집합의 존재를 가정한다. 이는 적어도 '하나의' 집합이 존재함을 필연적으로 포함하므로, 집합의 존재를 명시하는 별도의 공리는 불필요하다.

4. 1. 정의

'''선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론'''(ZFC)은 1차 논리를 기반으로 하는 집합론이며, 등호 외에 유일한 이항 관계 기호로

\in

를 사용한다. 이 이론에서 다루는 대상은 오직 '''집합'''뿐이며, 집합이 무엇인지는 공리를 통해 간접적으로 규정될 뿐 직접 정의되지는 않는다. 이항 관계

a\in b

는 "

a

가

b

의 '''원소'''이다"라고 읽는다.

수학적 논의를 간결하게 표현하기 위해 다음과 같은 축약 표기법을 사용한다:

$\forall x\in y\colon\phi$ 는 $\forall x\colon (x\in y\implies\phi)$ 를 의미한다. 즉, "집합 $y$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $\phi$ 가 성립한다"는 뜻이다.
$\exists x\in y\colon\phi$ 는 $\exists x\colon (x\in y\land\phi)$ 를 의미한다. 즉, "집합 $y$ 의 원소 중 $\phi$ 를 만족하는 $x$ 가 적어도 하나 존재한다"는 뜻이다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 공리계는 총 7개의 공리와 2개의 공리꼴로 이루어져 있다. 이들은 일반적인 1차 논리의 공리들에 추가적으로 가정되는 명제들이다.

ZFC에서 선택 공리를 제외한 공리계를 '''체르멜로-프렝켈 공리계'''(ZF)라고 부른다. 또한, ZFC에서 선택 공리, 정칙성 공리, 치환 공리꼴을 제외한 공리계를 '''체르멜로 공리계'''(Z)라고 한다.

4. 2. 집합의 기본 성질

ZFC에서 확장 공리와 정칙성 공리는 집합이 가지는 기본적인 성질을 규정한다. 이 공리들은 집합이 단순히 원소들의 모임이며(확장성), 스스로를 포함하는 등의 재귀적인 구조를 가질 수 없음(정칙성)을 명확히 한다.

'''확장 공리'''(axiom of extensionality^영어) 또는 '''외연 공리''': 두 집합이 정확히 동일한 원소를 가지고 있다면, 그 두 집합은 서로 같은 집합이다. 이는 본질적으로 두 집합이 '같다'는 것이 무엇을 의미하는지 정의하는 공리이다. 반대로, 서로 같은 집합이 같은 원소를 가진다는 것은 등식의 기본 성질로부터 당연하게 성립한다.^[5]

:

\forall x\forall y\colon(\forall z\colon z\in x\iff z\in y)\implies x=y

'''정칙성 공리'''(axiom of regularity^영어) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation^영어): 공집합이 아닌 모든 집합 $x$ 는, $x$ 와 교집합이 없는(즉, 서로소인) 원소 $y$ 를 반드시 포함한다. 이 공리 때문에, 어떤 집합이 자기 자신을 원소로 가지거나( $A \in A$ ), 집합들이 서로를 번갈아 원소로 가지는( $A \in B \in A$ ) 등의 무한히 내려가는 포함 관계는 존재할 수 없다. 이 공리는 모든 집합이 서수 순위를 가짐을 보장한다.

:

\forall x [\exists a ( a \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))].

현대적인 표기법으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

:

\forall x\,(x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y (y \in x \land y \cap x = \varnothing)).

4. 3. 집합의 구성

분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍, 합집합, 멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류 공리꼴), 함수에 대한 상을 취할 수 있다 (치환 공리꼴).

=== 분류 공리꼴 ===

axiom schema of specification^영어

어떤 집합

z

가 주어지고, 그 원소들이 만족할 수 있는 특정 성질

\phi

가 있을 때, 이 성질

\phi

를 만족하는 원소들만 모아서

z

의 부분 집합을 만들 수 있다. 이를 분류 공리꼴이라 한다. 여기서 부분집합의 범위를 기존 집합

z

로 제한하는 이유는 러셀의 역설과 같은 역설을 피하기 위해서이다. 만약 아무런 제한 없이 "특정 성질을 만족하는 모든 대상의 집합"을 허용하면, "자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"과 같은 역설적인 상황이 발생할 수 있다. 분류 공리꼴은 이러한 문제를 방지하기 위해 이미 존재하는 집합

z

안에서만 부분집합을 만들도록 제한한다.

1차 논리에서는 '성질' 자체에 한정 기호를 적용할 수 없기 때문에, 분류 공리꼴은 하나의 단일한 공리가 아니라 가능한 모든 성질

\phi

각각에 대응하는 무한히 많은 공리들의 묶음, 즉 공리꼴(axiom schema)로 표현된다.

수학적으로 표현하면,

x, w_1, \ldots, w_n

또는

x, z, w_1, \ldots, w_n

을 자유 변수로 가지는 (특히

y

를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식

\phi

에 대하여 다음이 성립한다:

\forall z\forall w_1\cdots\forall w_n\exists y\forall x\colon x\in y\iff x\in z\land\phi

이는 임의의 집합

z

와 매개변수

w_1, \ldots, w_n

에 대해,

z

의 원소

x

중에서 성질

\phi

를 만족하는 것들만 모은 집합

y

가 존재한다는 의미이다.

y = \{x \in z \mid \phi(x, w_1, \ldots, w_n, z)\}

와 같이 표현할 수 있다.

=== 치환 공리꼴 ===

axiom schema of replacement^영어

어떤 집합

A

를 정의역으로 하는 함수

f

가 형식적으로 정의될 수 있을 때 (즉, 논리식

\phi

로 표현될 때), 그 함수의 치역(함숫값들의 집합)을 포함하는 집합

B

가 존재한다. 이를 치환 공리꼴이라 한다. 분류 공리꼴과 마찬가지로, 가능한 모든 함수 정의에 대해 각각의 공리가 존재하므로 공리 '꼴'이다.

더 엄밀하게 표현하면,

x, y, A, w_1, \ldots, w_n

을 자유 변수로 가지는 (특히

B

를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식

\phi(x, y, A, w_1, \ldots, w_n)

에 대하여 다음이 성립한다:

\forall A\forall w_1\cdots\forall w_n\colon(\forall x\in A\exists!y\colon\phi)\implies(\exists B\forall x\in A\exists y\in B\colon\phi)

여기서

\exists!y\colon\phi

는 성질

\phi

를 만족하는

y

가 유일하게 존재한다는 의미이다 (

\exists y\colon(\phi \land (\forall y'\colon(\phi[y'/y]\implies y=y')))

의 축약 표현). 즉, 논리식

\phi

가 집합

A

의 각 원소

x

에 대해 유일한

y

를 대응시키는 함수 관계를 정의한다면 (

\forall x\in A\exists!y\colon\phi

),

A

의 모든 원소

x

에 대한 함숫값

y

들을 모두 포함하는 어떤 집합

B

가 존재한다는 것이다 (

\exists B\forall x\in A\exists y\in B\colon\phi

). 이 집합

B

는 치역 자체보다 더 클 수도 있다.

=== 짝 공리 ===

axiom of pairing^영어

임의의 두 집합

x

와

y

가 주어졌을 때,

x

와

y

를 모두 원소로 포함하는 집합

z

가 존재한다. 이를 짝 공리라 한다. 예를 들어,

x = \{1, 2\}

이고

y = \{2, 3\}

이면, 이 공리에 의해

\{\{1, 2\}, \{2, 3\}\}

과 같은 집합

z

의 존재가 보장된다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다:

\forall x\forall y\exists z\colon x\in z\land y\in z

이 공리는

x

와

y

를 포함하는 집합의 존재만을 보장하며, 정확히

x

와

y

만을 원소로 갖는 집합

\{x, y\}

의 존재는 분류 공리꼴을 이용하여

z

로부터 구성해야 한다 (

\{v \in z \mid v=x \lor v=y\}

). 짝 공리는 체르멜로 집합론(Z)의 일부이지만, ZF 집합론에서는 치환 공리꼴과 공집합의 존재로부터 유도될 수 있어 중복되기도 한다 (단, 적어도 두 개의 원소를 가진 집합의 존재가 보장되어야 한다).

=== 합집합 공리 ===

axiom of union^영어

임의의 집합

\mathcal{F}

(이 집합의 원소들은 다른 집합들이다)가 주어졌을 때,

\mathcal{F}

에 속하는 모든 집합들의 원소들을 전부 모아 놓은 집합

A

가 존재한다. 이를 합집합 공리라 한다. 예를 들어,

\mathcal{F} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{4\}\}

일 때, 이 공리는

\{1, 2, 3, 4\}

를 포함하는 어떤 집합

A

의 존재를 보장한다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다:

\forall\mathcal F\exists A\forall Y\forall x\colon (x\in Y\land Y\in\mathcal F)\implies x\in A

이는 "만약

x

가

Y

의 원소이고,

Y

가

\mathcal{F}

의 원소이면,

x

는

A

의 원소이다"라는 의미이다. 즉,

A

는

\mathcal{F}

에 속한 모든 집합들의 모든 원소들을 포함한다. 정확한 합집합

\cup\mathcal{F}

는 분류 공리꼴을 이용하여

A

로부터 구성할 수 있다:

\cup\mathcal{F} = \{x \in A \mid \exists Y (x \in Y \land Y \in \mathcal{F})\}

=== 멱집합 공리 ===

멱집합 공리

임의의 집합

x

가 주어졌을 때,

x

의 모든 부분 집합들을 원소로 갖는 집합

y

가 존재한다. 이를 멱집합 공리라 한다. 부분집합

z \subseteq x

는

z

의 모든 원소가

x

의 원소임을 의미한다 (

\forall q (q \in z \implies q \in x)

).

수학적으로 표현하면 다음과 같다:

\forall x\exists y\forall z\colon (z\subseteq x\implies z\in y)

이는 임의의 집합

x

에 대해,

x

의 모든 부분집합

z

를 원소로 포함하는 어떤 집합

y

가 존재한다는 의미이다. 정확한 멱집합

\mathcal{P}(x)

(또는

2^x

)는 분류 공리꼴을 이용하여

y

로부터 구성할 수 있다:

\mathcal{P}(x) = \{ z \in y \mid z \subseteq x \}

4. 4. 무한 공리와 선택 공리

ZFC 공리계에서 무한 공리와 선택 공리는 다른 공리들에 비해 상대적으로 더 많은 논쟁을 불러일으키는 공리들이다. 무한 공리는 가산 무한 집합의 존재를 가정하며, 이를 통해 멱집합 공리를 적용하여 더 큰 무한 집합의 기수와 순서수들을 정의할 수 있게 한다. 선택 공리는 무한히 많은 집합들 각각에서 원소를 하나씩 선택할 수 있다고 말하지만, 구체적으로 어떤 원소를 어떻게 선택하는지에 대한 방법은 명시하지 않으며, 일부 경우에는 그 방법을 명시하는 것이 불가능함이 증명되기도 한다.

'''무한 공리'''

공집합(∅)을 원소로 가지며, 어떤 집합

y

를 원소로 가진다면

y \cup \{y\}

역시 반드시 원소로 가지는 집합

X

가 존재한다는 공리이다. 수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

:

\exists X\colon\varnothing\in X\land(\forall y\in X\colon S(y)\in X)

여기서

S(x) = x \cup \{x\}

로 정의된다. 다른 공리들을 이용하면 임의의 집합

x

에 대해

S(x)

가 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 또한, 집합이 하나라도 존재한다면 공집합(∅) 역시 유일하게 존재함이 증명된다. 정칙성 공리에 따르면 항상

S(x) \neq x

이므로, 무한 공리가 존재한다고 가정한 집합

X

는 최소한 다음과 같은 원소들을 포함해야 한다.

:

X\supseteq\left\{\varnothing, S(\varnothing), S(S(\varnothing)), \dots\right\}

이 원소들은 존 폰 노이만이 제안한 방식에 따라 각각 자연수 0, 1, 2, ... 로 정의될 수 있다.

:

\varnothing = 0

:

S(\varnothing) = 0 \cup \{0\} = \{\varnothing\} = 1

:

S(S(\varnothing)) = S(1) = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} = \{0, 1\} = 2

:

\dots

:

S(x) = x+1

따라서 무한 공리는 결과적으로 자연수 전체의 집합

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}

의 존재를 보장한다. 이 집합은 폰 노이만 순서수

\omega

와 같다. 만약 자연수를 다른 방식으로 정의하더라도, 치환 공리꼴을 사용하여 폰 노이만 방식의 자연수 집합과 동치임을 보일 수 있다.

'''선택 공리'''

공집합이 아닌 집합들을 원소로 가지는 집합

X

가 주어졌을 때,

X

에 속하는 각각의 집합

A

로부터 원소를 하나씩 선택하는 함수

f

가 존재한다는 공리이다. 즉, 모든

A \in X

에 대하여

f(A) \in A

를 만족하는 함수

f: X \to \bigcup X

가 존재한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

:

\forall X\colon\varnothing\not\in X\implies\left(\exists f\colon X\to\bigcup X\forall A\in X\colon f(A)\in A\right)

여기서

\bigcup X = \bigcup_{A\in X} A

는

X

의 모든 원소 집합들의 합집합이며, 합집합 공리에 의해 그 존재가 보장된다.

선택 공리는 여러 동치인 명제들과 함께 제시되기도 한다. 대표적인 예는 다음과 같다.

정렬 정리: 모든 집합 $X$ 는 정렬 가능하다. 즉, $X$ 상의 이항 관계 $R$ 이 존재하여, $R$ 은 $X$ 의 전순서이고 공집합이 아닌 모든 $X$ 의 부분 집합은 $R$ 에 대해 최소 원소를 가진다.

:

\forall X \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; X).

조른의 보조정리: 부분 순서 집합에서 모든 사슬(전순서 부분 집합)이 상계를 가지면, 그 집합은 적어도 하나의 극대 원소를 가진다.

선택 공리는

X

가 유한 집합일 경우에는 다른 공리들로부터 쉽게 증명될 수 있으므로, 주로 무한 집합에 대해 적용될 때 의미를 가진다. 이 공리는 선택 함수

f

의 존재 자체만을 주장할 뿐, 그 함수를 구체적으로 어떻게 구성할 수 있는지에 대해서는 알려주지 않기 때문에 비구성적인 성격을 가진다고 평가받는다.^[12]^[13]^[14]^[16]

5. 성질

ZFC가 다루는 대상은 오직 집합뿐이며, 고유 모임은 직접적으로 다루지 않는다. 모임 전체를 다루기 위해서는 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)이나 모스-켈리 집합론(MK)과 같은 다른 집합론 체계를 사용해야 한다.

ZFC에서 다루는 모든 집합은 다른 집합들로 구성되어 있으며, 더 이상 분해되지 않는 기본 원소인 atom^영어 또는 urelement^영어(원자)를 포함하지 않는다. 또한, 정칙성 공리에 따라 ZFC의 모든 집합은 정칙적(well-founded)이다. 이는 다음과 같이 자기 자신을 포함하거나 순환적으로 포함하는 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없음을 의미한다.

: $A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots$

: $B=\{C\}=\{\{B\}\}=\{\{\{C\}\}\}=\cdots$

ZFC는 기초적인 순수 집합(Pure set^영어) 개념을 형식화하는 것을 목표로 하므로, 이론 내에서 다루는 모든 대상은 집합이다. 따라서 ZFC의 공리들은 순수 집합에 대해서만 언급하며, 그 모델에는 아톰(urelement^영어)^[10]이 포함되지 않도록 설계되었다. 진 클래스^[11](집합이 되기에는 너무 큰 모임)는 간접적으로만 다룰 수 있다. 구체적으로, ZFC는 모든 집합을 포함하는 전체 집합의 존재나 무제한적인 내포 공리를 허용하지 않음으로써 러셀의 역설과 같은 모순을 회피한다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 ZFC의 보존적 확장으로, 진 클래스를 명시적으로 다룰 수 있어 자주 사용된다.

ZFC의 공리계에는 여러 가지 동등한 표현 방식이 존재한다.^[12] 대부분의 공리는 이미 존재하는 집합들로부터 특정 속성을 만족하는 새로운 집합의 존재를 주장한다. 예를 들어, 짝 공리는 임의의 두 집합 $a$ 와 $b$ 가 주어졌을 때, $a$ 와 $b$ 만을 원소로 가지는 새로운 집합 $\{a,b\}$ 의 존재를 보장한다. 다른 공리들은 집합의 원소들이 만족해야 하는 속성을 기술한다. 이러한 공리들의 목표는 폰 노이만 우주(누적 계층) 내의 모든 집합에 대해 각 공리가 참이 되도록 하는 것이다. 형식적으로 ZFC는 1차 술어 논리 상의 이론으로, 등호(=)와 원시적인 이항 관계인 원소 관계( $\in$ )만을 기본 기호로 사용한다. 수식 $a\in b$ 는 집합 $a$ 가 집합 $b$ 의 원소임을 나타낸다.

ZFC의 초수학은 깊이 연구되어 왔으며, 몇 가지 중요한 결과가 알려져 있다. 대표적으로 선택 공리(AC)는 나머지 ZF 공리들과 논리적으로 독립적이며, 연속체 가설(CH) 역시 ZFC 공리계 전체와 독립적이라는 사실이 증명되었다. 또한 괴델의 제2 불완전성 정리에 따르면, ZFC와 같은 충분히 강력한 공리계의 무모순성은 그 공리계 자체 내에서는 증명될 수 없다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 일부 공리들은 서로 독립적이지 않다. 예를 들어, 짝 공리는 멱집합 공리와 치환 공리꼴을 사용하여 나머지 공리들로부터 유도될 수 있다.

선택 공리(AC)는 여러 동등한 형태를 가지는데, 그중 하나는 "임의의 집합 $X$ 에 대해, $X$ 를 정렬하는 이항 관계 $R$ 이 존재한다"는 정렬 가능 정리이다.^[16] 또 다른 흔한 형태는 "공집합이 아닌 집합들로 이루어진 임의의 집합족 $\{X_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 에 대해, 각 $X_\lambda$ 에서 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 만들 수 있다"는 것이다. 즉, 모든 $\lambda\in\Lambda$ 에 대해 $f(\lambda)\in X_\lambda$ 를 만족하는 함수 $f:\Lambda\to\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$ 가 존재한다는 것이다. 선택 공리는 이러한 선택 집합의 존재만을 주장할 뿐, 그것을 구체적으로 어떻게 '구성'하는지에 대해서는 알려주지 않으므로 비구성적인 공리로 간주된다.

5. 1. 상대적 무모순성

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.^[19]
기호	설명
$\mathsf{ZF}^-$	ZF에서 정칙성 공리를 제외한 공리계^[19]
$\mathsf{ZF}$	체르멜로-프렝켈 집합론^[19]
$\mathsf{ZFC}$	체르멜로-프렝켈 집합론 + 선택 공리
$\mathsf{ZFC}$ + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.	^[19]
$\mathsf{ZFC}$ + 일반화 연속체 가설 (GCH)	^[19]
$\mathsf{ZFC}$ + GCH + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.	^[19]
$\mathsf{ZFC}+V=L$	ZFC + 구성 가능 전체 공리^[19]
$\mathsf{ZFC}+V=\operatorname{HOD}$	ZFC + 모든 집합은 유전적으로 순서 정의 가능한 집합의 모임에 속한다는 공리^[19]
$\mathsf{ZFC}+V\ne L+\mathsf{GCH}$	^[19]
$\mathsf{ZFC}+2^{\aleph_0}=\aleph_2$	ZFC + 연속체 가설의 부정 ( $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ )^[19]
$\mathsf{ZF}+\lnot\mathsf{AC}$	ZF + 선택 공리의 부정^[19]
$\mathsf{ZFC}^-+\exists x\colon x=\{x\}$	ZFC에서 정칙성 공리를 제외하고, 자기 자신만을 원소로 갖는 집합의 존재를 가정한 공리계^[19]
$\mathsf{NBG}$	폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론. 이는 $\mathsf{ZFC}$ 의 보존적 확장이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.

ZFC는 그보다 약한 몇몇 이론들의 무모순성을 증명할 수 있다. 예를 들어, 페아노 공리계( $\mathsf{PA}$ )의 무모순성은 ZF에서 증명 가능하다 ( $\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{PA})$ ).^[19]^[20] 또한 ZF에서 무한 공리를 제외한 이론( $\mathsf{ZF-I}$ )의 무모순성은 PA의 무모순성과 동치이다 ( $\operatorname{Con}(\mathsf{ZF-I})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{PA})$ ).^[19]^[20] 따라서, (만약 $\mathsf{ZFC}$ 가 무모순적이라면) $\mathsf{ZFC}$ 는 $\mathsf{ZF-I}$ 보다 무모순성 관점에서 더 강한 이론이다.

마찬가지로, ZFC는 다음 이론들의 무모순성을 증명할 수 있다.

$\mathsf{ZFC-P}$ : ZFC에서 멱집합 공리를 제거하고 "모든 집합이 가산 집합이다"를 추가한 이론.^[19] ( $\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}\left(\mathsf{ZFC-P}\right)$ ) 사실, 유전적 가산 집합들의 집합 $H_{\aleph_1}$ 은 $\mathsf{ZFC-P}$ 의 모델이 된다.
$\mathsf{ZFC-I}+\lnot\mathsf I$ : ZFC에서 무한 공리를 제거하고 그 부정을 추가한 이론.^[19] ( $\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC-I}+\lnot\mathsf I)$ ) 사실, 유전적 유한 집합들의 집합 $V_\omega$ (즉, 폰 노이만 전체의 $\omega$ 번째 단계)는 이 이론의 모델이 된다.^[21]^[22]
$\mathsf{ZFC}-\mathsf R+\lnot\mathsf R$ : ZFC에서 치환 공리꼴을 그 부정으로 대체한 이론.^[23] ( $\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}-\mathsf R+\lnot\mathsf R)$ ) 사실, $V_{\omega + \omega}$ 는 이 이론의 모델이 된다.^[24]

반면, 모스-켈리 집합론(MK)은 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있으므로 ZFC보다 더 강한 이론이다 (

\mathsf{MK}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NBG})

이고

\operatorname{Con}(\mathsf{NBG})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})

).^[23]

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC는 도달 불가능한 기수나 다른 큰 기수의 존재를 증명할 수 없다. 이는 도달 불가능한 기수의 존재를 가정하면 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있기 때문이다. 구체적으로, 도달 불가능한 기수

\kappa

가 존재한다고 가정하면 (

\mathsf{ZFC}+\operatorname{Inacc}\ne\varnothing

), 모스-켈리 집합론의 무모순성(

\operatorname{Con}(\mathsf{MK})

)을 증명할 수 있는데, 이는

V_{\kappa+1}

이 MK의 모델이 되기 때문이다. 또한, ZF에 약하게 도달 불가능한 기수의 존재를 추가하면 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다.

5. 2. 유한 공리화의 불가능성

ZFC는 axiom schema|공리꼴^영어을 포함하고 있어, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규는 1961년에 ZFC와 ZF 모두 (만약 모순이 없다면) 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 사실, ZFC의 유한 부분 이론

T\subset\operatorname{Th}(\mathsf{ZFC})

에 대하여, 항상

:

\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}-\mathsf R+T)

가 성립한다.^[23] 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

6. Motivation via the cumulative hierarchy

ZFC 공리들의 동기 부여 중 하나는 존 폰 노이만이 도입한 집합들의 누적 계층이다.^[6]^[17] 이 관점에서 집합론의 우주는 각 서수에 해당하는 단계별로 구성된다. 단계 0에서는 아직 집합이 없다. 각 다음 단계에서는 모든 원소가 이전 단계에서 추가된 경우 집합이 우주에 추가된다. 따라서 공집합은 단계 1에서 추가되고, 공집합을 포함하는 집합은 단계 2에서 추가된다. 모든 단계를 거쳐 이런 식으로 얻어진 모든 집합의 모음은 ''V''로 알려져 있다. ''V''의 집합은 각 집합에 해당 집합이 ''V''에 추가된 첫 번째 단계를 할당하여 계층으로 배열할 수 있다.

집합이 순수하고 잘 기초된 경우에만 ''V''에 속한다는 것을 증명할 수 있다. 그리고 서수의 클래스가 적절한 반사 속성을 갖는다면 ''V''는 ZFC의 모든 공리를 만족한다. 예를 들어, 집합 ''x''가 단계 α에서 추가되었다고 가정하면, 이는 ''x''의 모든 원소가 α보다 이전 단계에서 추가되었음을 의미한다. 그러면 ''x''의 모든 부분 집합도 (또는 그 이전) 단계 α에서 추가되는데, 이는 ''x''의 모든 부분 집합의 모든 원소도 단계 α 이전에 추가되었기 때문이다. 이는 분리 공리가 구성할 수 있는 ''x''의 모든 부분 집합이 (또는 그 이전) 단계 α에서 추가되고, ''x''의 멱집합이 α 다음 단계에서 추가됨을 의미한다.^[7]

누적 계층으로 계층화된 집합 우주의 그림은 ZFC 및 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG) 및 모스-켈리 집합론과 같은 관련 공리적 집합론의 특징이다. 누적 계층은 새로운 기초와 같은 다른 집합론과 호환되지 않는다.

각 단계에서 이전 단계들의 합집합의 모든 부분 집합을 추가하는 대신, 특정 의미에서 정의 가능한 경우에만 부분 집합을 추가하도록 ''V''의 정의를 변경할 수 있다. 이는 더 "좁은" 계층을 초래하여 구성 가능 우주 ''L''을 제공하며, 이는 선택 공리를 포함하여 ZFC의 모든 공리도 만족한다. ''V'' = ''L''인지 여부는 ZFC 공리와 독립적이다. ''L''의 구조는 ''V''의 구조보다 더 규칙적이고 잘 동작하지만, 몇몇 수학자들은 ''V'' = ''L''을 추가 "구성 가능성 공리"로 ZFC에 추가해야 한다고 주장한다.

7. Metamathematics

메타수학(Metamathematics)은 수학 이론 자체를 수학적 대상으로 삼아 연구하는 분야이다. ZFC는 현대 수학의 기초로 널리 사용되지만, 형식적인 공리 체계로서 ZFC 자체의 성질, 한계, 가능성 등을 탐구하는 것은 중요한 메타수학적 질문들을 제기한다.

ZFC의 메타수학적 분석에서는 주로 다음과 같은 주제들이 다루어진다.

표현력과 한계: ZFC는 집합만을 공식적인 대상으로 다루므로, 진정한 클래스(proper class)와 같이 너무 커서 집합이 될 수 없는 모임은 직접 다룰 수 없다. 이를 극복하기 위해 가상 클래스와 같은 표기법이 사용된다.
공리화: ZFC는 치환 공리꼴과 분리 공리꼴이라는 두 개의 공리꼴을 포함하기 때문에 무한히 많은 공리로 이루어져 있다. 리처드 몬터규는 ZFC가 일관성이 있다면 유한한 개수의 공리만으로는 공리화될 수 없음을 증명했다. 이는 ZFC가 유한하게 공리화될 수 없음을 의미한다.
무모순성: ZFC의 무모순성은 매우 중요한 문제이다. 괴델의 제2 불완전성 정리에 따르면, ZFC가 실제로 모순이 없다면 ZFC 체계 내에서는 그 무모순성을 증명할 수 없다. 비록 ZFC 내에서 모순이 발견된 적은 없지만, 그 무모순성은 더 강력한 공리(예: 접근 불가능한 기수의 존재)를 가정해야만 증명될 수 있다.
독립성: ZFC 공리들로부터 증명할 수도 반증할 수도 없는 명제들이 존재한다. 대표적인 예로 연속체 가설(CH)과 선택 공리(AC)가 있다. 이러한 독립성은 주로 폴 코언이 개발한 포싱 기법을 통해 증명된다. 이는 ZFC가 모든 수학적 질문에 답을 줄 수 없음을 보여주는 중요한 결과이다.
확장 가능성: ZFC의 한계를 인식하고, 연속체 가설과 같은 독립적인 문제들을 해결하기 위해 새로운 공리를 추가하려는 연구가 진행되고 있다. 거대 기수 공리나 강제 공리 등이 제안되었지만, 어떤 공리를 받아들여야 할지에 대해서는 아직 합의가 이루어지지 않았다.

이러한 메타수학적 탐구는 ZFC의 기초적인 역할과 그 내재적 한계를 이해하는 데 필수적이며, 현대 수리논리학과 집합론 연구의 핵심적인 부분을 이룬다.

7. 1. Virtual classes

ZF(ZFC)에서는 진정한 클래스(proper class), 즉 너무 커서 집합으로 취급될 수 없는 수학적 대상들의 모임을 직접 다룰 수 없고 간접적으로만 취급할 수 있다.

이러한 진정한 클래스를 ZF와 ZFC 내에서 다루기 위한 대안으로 콰인(Quine, 1969)은 가상 클래스(virtual class)라는 표기법을 도입했다. 이 표기법에서 y ∈ { x | Fx }는 단순히 Fy와 동일한 의미로 정의된다.^[18] 가상 클래스 표기법은 집합을 포함할 수 있지만 그 자체가 반드시 집합일 필요는 없는 클래스를 간단하게 나타낼 수 있게 해준다. 또한, 이 표기법은 실제 클래스의 존재를 가정하지 않고 오직 집합에 대한 표현으로 바꿀 수 있다는 장점이 있다. 콰인의 이러한 접근은 베르나이스와 프렝켈(Bernays & Fraenkel, 1958)이 이전에 제시한 아이디어를 바탕으로 한다. 가상 클래스 개념은 이후 레비(Levy, 2002), 타케우티와 재링(Takeuti & Zaring, 1982), 그리고 Metamath의 ZFC 구현 등에서도 활용되고 있다.

7. 2. Finite axiomatization

ZFC는 공리꼴(axiom schema^영어)을 포함하고 있어 실제로는 무한히 많은 공리로 이루어져 있다. 치환 공리 도식과 분리 공리 도식은 각각 무한히 많은 사례를 포함한다. 리처드 몬터규는 1961년 발표한 연구(1957년 박사 학위 논문에 처음 포함됨)에서 ZFC가 일관성이 있다면 유한한 개수의 공리만으로는 ZFC를 공리화하는 것이 불가능함을 증명했다.^[23] 즉, ZFC는 유한하게 공리화될 수 없다.

반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한하게 공리화될 수 있다. NBG는 집합뿐만 아니라 진 클래스( proper class^영어 )를 포함하는데, 이는 다른 클래스의 원소가 될 수 없는 클래스를 의미한다. 하지만 NBG와 ZFC는 클래스를 언급하지 않는 한, 한 이론에서 증명 가능한 모든 집합에 관한 정리는 다른 이론에서도 증명 가능하다는 점에서 동일한 집합론으로 간주된다.

7. 3. Consistency

괴델의 제2 불완전성 정리에 따르면, 로빈슨 산술을 해석할 수 있는 재귀적으로 공리화 가능한 시스템은 자신이 일관적이라는 것을 증명할 수 없다(모순되지 않는 한).^[10] 로빈슨 산술은 ZFC의 일부인 일반 집합론에서 해석될 수 있으므로, ZFC의 일관성은 ZFC 자체 내에서 증명될 수 없다.^[12] 따라서 ZFC를 일반적인 수학과 동일시하는 한, ZFC의 일관성은 일반적인 수학에서 증명될 수 없다.

ZFC는 소박한 집합론의 고전적인 역설, 즉 러셀의 역설, 부랄리-포르티 역설, 칸토어의 역설에 면역되어 있다.^[10] 이는 ZFC가 무제한적인 내포를 허용하지 않아 러셀의 역설에 등장하는 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합'(

R=\{x\mid x\notin x\}

)과 같은 모임을 구성할 수 없기 때문이다.^[11] 또한, ZFC는 모든 집합을 포함하는 전체 집합의 존재를 허용하지 않는다.^[11]

ZFC의 일관성은 약한 접근 불가능한 기수의 존재로부터 비롯되지만, 이러한 기수의 존재는 ZFC가 일관적이라면 ZFC 내에서는 증명할 수 없다.^[10] 그럼에도 불구하고, ZFC가 예상치 못한 모순을 품고 있을 가능성은 낮다고 여겨진다. 만약 ZFC가 모순된다면 그 사실은 이미 밝혀졌을 것이라고 널리 믿어진다.^[10]

Abian과 LaMacchia는 외연성, 합집합, 멱집합, 치환, 선택 공리로 구성된 ZFC의 부분이론을 연구했다. 모형을 사용하여 이 부분이론의 일관성을 증명했으며, 외연성, 치환, 멱집합의 각 공리는 이 부분이론의 나머지 네 공리에서 독립적임을 증명했다. 이 부분이론에 무한 공리를 추가하면 합집합, 선택, 무한 공리의 각 공리는 나머지 다섯 공리에서 독립적이다.^[10] 정칙성 공리를 제외한 ZFC의 각 공리를 만족하는 비-잘 정렬 모형이 있기 때문에, 정칙성 공리는 다른 ZFC 공리들과 독립적이다.^[10]

ZFC가 일관적이라면, 범주론 등에서 요구하는 접근 불가능한 기수의 존재를 증명할 수 없다.^[10] 이러한 종류의 거대한 집합은 ZF에 타르스키의 공리를 추가하면 가능하다.^[10] 이 공리를 가정하면 무한 공리, 멱집합 공리, 선택 공리는 정리가 된다.^[10]

7. 4. Independence

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서는 증명할 수도 반증할 수도 없는, 즉 ZFC와 독립적인 중요한 명제들이 많이 존재한다. 이러한 독립성은 주로 포싱 기법을 통해 증명된다. 포싱은 ZFC의 모형 (때로는 강기수 공리를 가정하여 확장된 모형)을 확장하여, 어떤 모형에서는 해당 명제가 참이 되고 다른 모형에서는 해당 명제의 부정이 참이 되도록 만들 수 있음을 보여주는 방식이다. 포싱을 이용한 독립성 증명은 산술 명제, 다른 구체적인 명제, 그리고 강기수 공리로부터의 독립성까지 자동으로 증명하는 경우가 많다.

ZFC와 독립적인 명제 중 일부는 특정 내부 모형에서는 참임이 증명될 수 있다. 예를 들어, 구성 가능 우주(L)에서는 여러 독립적인 명제들이 참으로 결정된다. 하지만 구성 가능 우주에서 참인 명제 중 일부는 특정 거대 기수 공리와는 양립하지 않는다.

포싱 기법을 통해 다음 명제들이 ZFC와 독립적임을 증명할 수 있다.

명제	설명
구성 가능 공리 (V=L)	모든 집합이 구성 가능하다는 공리. ZFC의 기본 공리는 아니다. V=L의 ZFC와의 상대적 무모순성은 내부 모형 L을 통해 증명되며, 포싱으로는 증명되지 않는다. ZF의 모든 모형은 ZFC + V=L의 모형으로 축소될 수 있다.
연속체 가설 (CH)	실수 집합의 크기가 자연수 집합의 크기 바로 다음이라는 가설.
다이아몬드 원리 (◊)	조합론적 집합론의 원리 중 하나.
마틴의 공리 (MA)	연속체 가설보다 약한 형태의 공리. ZFC의 기본 공리는 아니다.
수슬린 가설 (SH)	특정 종류의 전순서 집합에 대한 가설.

이 명제들 사이에는 다음과 같은 함의 관계가 알려져 있다.

다이아몬드 원리는 연속체 가설을 함의하고, 수슬린 가설의 부정을 함의한다.
마틴의 공리와 연속체 가설의 부정을 함께 가정하면 수슬린 가설을 함의한다.
구성 가능 우주 L에서는 일반화된 연속체 가설(GCH), 다이아몬드 원리, 마틴의 공리, 쿠레파 가설이 모두 성립한다.
쿠레파 가설의 실패는 강하게 접근 불가능한 기수의 존재와 동치적 무모순성(equiconsistent) 관계에 있다.

선택 공리(AC) 자체도 나머지 ZF 공리들과 독립적이다. 선택 공리의 (ZF와의 상대적) 무모순성은 내부 모형 L이 선택 공리를 만족한다는 사실로부터 증명된다. 즉, ZF가 무모순하다면 ZFC도 무모순하다. 선택 공리의 증명 불가능성(즉, ZF로부터 선택 공리를 증명할 수 없음)은 포싱 기법의 변형을 사용하여 보인다. 포싱 자체는 선택 공리를 보존하므로, ZFC 모형에서 직접적으로 선택 공리가 거짓인 모형을 만들 수는 없다. 대신, 포싱을 사용하여 ZF는 만족하지만 선택 공리는 만족하지 않는 부분 모형을 포함하는 더 큰 모형을 구성하는 방식으로 증명한다.

독립성을 증명하는 또 다른 방법은 괴델의 제2 불완전성 정리를 이용하는 것이다. 어떤 명제 P가 ZFC의 무모순성(Con(ZFC))을 증명하는 데 사용될 수 있다면, ZFC가 실제로 무모순하다는 가정 하에 P는 ZFC 내에서 증명될 수 없다. 왜냐하면 괴델의 정리에 따라 ZFC는 자신의 무모순성을 스스로 증명할 수 없기 때문이다. 이 방법은 예를 들어 거대 기수의 존재가 ZFC에서 증명 불가능함을 보이는 데 사용될 수 있다. 하지만 이 방법은 거대 기수의 존재를 가정하는 것이 ZFC와 모순되지 않는다는 사실(상대적 무모순성)을 증명하지는 못한다.

7. 5. Proposed additions

연속체 가설이나 다른 초수학적 모호성을 해결하기 위해 ZFC에 추가적인 공리를 도입하려는 시도가 있다. 이러한 노력을 통해 집합론 연구자들을 하나로 모으려는 프로젝트를 "괴델의 프로그램"이라고 부르기도 한다.

현재 수학자들 사이에서는 어떤 추가 공리가 가장 타당하거나 "자명"한지, 어떤 공리가 다양한 분야에서 가장 유용한지, 그리고 유용성과 타당성 사이의 균형을 어떻게 맞춰야 하는지에 대한 논쟁이 진행 중이다. 일부 "다중 우주" 집합론자들은 유용성이 공리 채택의 유일한 궁극적인 기준이 되어야 한다고 주장한다.

이러한 논의 속에서 몇 가지 주요한 흐름이 나타나고 있다. 한 학파는 강제 공리를 채택하여 집합의 "반복적" 개념을 확장하고자 한다. 이를 통해 흥미롭고 복잡하면서도 비교적 다루기 쉬운 구조를 가진 집합론적 우주를 만들려는 목표를 가지고 있다. 반면 다른 학파는 더 간결하고 덜 복잡한 우주를 선호하며, "핵심" 내부 모델에 초점을 맞춘 접근 방식을 지지한다.

8. Criticisms

ZFC는 지나치게 강력하다는 비판과 지나치게 약하다는 비판을 동시에 받고 있으며, 적절한 클래스나 전체 집합과 같은 대상을 포착하지 못한다는 비판도 있다.

많은 수학적 정리는 ZFC보다 훨씬 약한 체계, 예를 들어 페아노 산술과 2차 산술에서도 증명될 수 있다. 이는 역수학 프로그램에서 탐구되는 주제이다. 사운더스 맥레인과 솔로몬 페퍼만은 이 점을 지적하며, "주류 수학"(공리적 집합론과 직접 관련되지 않은 수학)의 상당 부분이 페아노 산술과 2차 산술만으로도 충분하다고 주장했다. 일부 주류 수학은 이들 체계를 넘어서지만, 그러한 수학조차도 ZFC보다 약한 ZC (체르멜로 집합론 + 선택 공리)에서 수행될 수 있다. 정칙성 공리나 치환 공리 등 ZFC가 가진 강력한 공리들은 주로 집합론 자체의 연구를 용이하게 하기 위해 포함되었다는 시각이 있다.

반면에, 공리적 집합론 내에서 ZFC는 비교적 약하다는 평가도 받는다. 예를 들어, 새 기초 집합론과 달리 ZFC는 전체 집합의 존재를 허용하지 않는다. 이로 인해 ZFC 체계 내에서 모든 집합의 모임인 우주는 집합 대수의 기본 연산에 대해 닫혀 있지 않다. 또한, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)이나 모스-켈리 집합론(MK)과는 다르게 ZFC는 적절한 클래스의 존재를 직접적으로 허용하지 않는다. ZFC의 선택 공리가 NBG나 MK의 전역 선택 공리보다 약하다는 점도 ZFC의 상대적인 약점으로 지적된다.

ZFC에서는 증명하거나 반증할 수 없는, 즉 결정 불가능한 수학적 명제가 많이 존재한다. 대표적인 예로는 연속체 가설, 화이트헤드 문제, 정규 무어 공간 추측 등이 있다. 이러한 문제 중 일부는 ZFC에 마틴의 공리나 거대 기수 공리와 같은 추가적인 공리를 도입하여 해결할 수 있다. 다른 일부는 선택 공리와 양립하지 않는 강력한 가정인 결정 공리(AD)를 추가한 ZF+AD 체계에서 결정되기도 한다. 거대 기수 공리의 한 가지 장점은 ZF+AD에서 얻어지는 많은 결과를, 거대 기수 공리를 추가한 ZFC 체계 내에서도 확립할 수 있다는 점이다. 미자 시스템과 메타매스 같은 증명 보조 시스템은 ZFC의 확장인 타르스키-그로텐디크 집합론을 채택하여, 범주론이나 대수기하학에서 다루는 그로텐디크 우주와 관련된 증명을 형식화할 수 있도록 지원한다.

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 논문
_[10] 문서 集合の元であって、それ自体が集合ではないもの
_[11] 문서 それに属する元が共通してもつ属性によって定義された[[数学的対象]]の集まりであり、集合とするには大きすぎるもの
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 논문
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://web.archive.[...] North-Holland 1980
_[20] 저널 On interpretations of arithmetic and set theory 2007
_[21] 논문
_[22] 논문
_[23] 서적 Set theory College Publications 2011
_[24] 논문
_[25] 저널 Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I http://resolver.sub.[...] 1908
_[26] 저널 Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe 1910
_[27] 서적 Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogörelse 1923
_[28] 저널 Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre http://resolver.sub.[...] 1922

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com